平均も標準偏差も異なる正規分布を、共通のものさしで比べるための変換が標準化です。標準化した値 u を使います。
日野 こむぎ
先生、平均も散らばりも違う2つのデータを、どうやって同じ土俵で比べるの?
藤森 さやか 先生
そこで使うのが標準化よ。
あるデータ x が、平均 μ から標準偏差 σ の何個ぶん離れているかに直すの。
式は u＝(x−μ)÷σ。
桃井 すみれ
なんだか難しそうですぅ…。
藤森 さやか 先生
具体的な数字だと簡単よ。
μ＝100、σ＝20のテストで、x＝140点を取ったとしましょう。
まず x−μ を計算して。
桃井 すみれ
140−100で…40です!
藤森 さやか 先生
そう。
その40を σ＝20で割るの。
u＝40÷20。
いくつになる?
桃井 すみれ
40÷20で…u＝2.0です! できましたぁ。
藤森 さやか 先生
大正解。
u＝2.0は「平均より標準偏差2個ぶん上」という意味。
単位に関係なく、位置を比べられるのよ。
青木 澪
補足すると、標準化した分布は平均0・標準偏差1になります。
検算として、u＝2.0なら x＝μ＋2σ＝100＋2×20＝140と元の値に戻せます。
藤森 さやか 先生
そのとおり。
μを引いて、σで割る。
この2ステップが標準化の核ね。
試験でも u の計算はよく出るわ。
確認クイズ
μ＝50、σ＝10 の正規分布で、x＝75 を標準化した値 u はいくらか。
- 1.5
- 2.0
- 2.5
- 3.0
こたえを見る
正解: 3. 2.5
正解は3。u＝(x−μ)÷σ＝(75−50)÷10＝25÷10＝2.5。検算：μ＋2.5σ＝50＋2.5×10＝75で、元の値に戻ります。