各データが平均からどれだけ離れているかを偏差といい、その2乗を合計したものが平方和 S です。分散や標準偏差の土台になります。
桃井 すみれ
先生、さっきの範囲じゃダメなんですかぁ? これ、もっと難しそうです。
藤森 さやか 先生
範囲は2つの値しか使わないでしょう。
全部のデータのばらつきを取り込むために偏差を使うのよ。
偏差は「x−x̄」、つまり平均からのズレね。
青木 澪
補足すると、偏差をそのまま足すと正と負が打ち消し合って0になります。
そこで2乗してから合計するのが平方和 S です。
藤森 さやか 先生
そう。
式は S＝Σ(x−x̄)²。
例で確かめましょう。
2,5,8なら、平均 x̄ はいくつ?
日野 こむぎ
2＋5＋8＝15、÷3で…x̄＝5だね!
藤森 さやか 先生
正解。
偏差は 2−5＝−3、5−5＝0、8−5＝3。
これを2乗して足すと 9＋0＋9＝18。
だから S＝18よ。
青木 澪
別の式でも検算できます。
S＝Σx²−(Σx)²÷n。
Σx²＝4＋25＋64＝93、(Σx)²÷n＝15²÷3＝225÷3＝75。
93−75＝18で一致します。
桃井 すみれ
ほんとだ、どっちで計算しても18なんですねぇ。
ちょっと安心しましたぁ。
藤森 さやか 先生
電卓では、2乗を先に合計する下の式が速いわ。
試験ではこの2式が同じ値になることが問われるから、両方使えるようにしておいてね。
確認クイズ
データ 3,6,9 の平方和 S はいくらか。
- 9
- 12
- 18
- 27
こたえを見る
正解: 3. 18
正解は3。x̄＝(3＋6＋9)÷3＝6。偏差は−3,0,3、2乗して 9＋0＋9＝18。検算：Σx²＝9＋36＋81＝126、(Σx)²÷n＝18²÷3＝108、126−108＝18で一致します。